Testy hypotéz pre parametre normálneho rozdelenia

<< Statistics`HypothesisTests`

<< Statistics`ContinuousDistributions`

Test pre μ pri známom σ

Príklad
Pri kontrole správnosti nastavenia meracieho prístroja bolo urobených 10 meraní skúšobného etalónu so správnou hodnotou μ= 15,2  pričom systematická odchýlka tohto prístroja je σ =0,03. Boli namerané tieto údaje :
15,23   15,21   15,19   15,16   15,26   15,22    15,23   15,26   15,23    15,29
Na hladine významnosti α=0,05 testujte H0:  μ=15,2   oproti jednoduchej alternatíve  H1:   μ≠15,2

Najprv podla postupu z prednášok

data = {15.23,  15.21,  15.19,  15.16,  15.26,  15.22,  15.23,  
        15.26,  15.23,  15.29}

n = Length[data]

σ = 0.03

priemer = Mean[data]

μ0 = 15.2

T = ((priemer - μ0)/σ) (Sqrt[n])

α = 0.05

kvantil2 = 
      Quantile[NormalDistribution[0, 1], (1 - (α/2))]

Kedze T je vacsie ako kvantil, zamietam Ho, pristroj nemeria dobre.

Este testujme pre alternativy H1 μ<15.2 
 a  H2  μ>15.2

kvantil1 = 
      Quantile[NormalDistribution[0, 1], (1 - α)]

H1   T>-1.64, nezamietam H0
H2   T>1.64      zamietam H0

MeanTest[data, μ0, KnownStandardDeviation -> 0.03, 
      TwoSided -> True]

Vystupom pre tento prikaz je Phodnota (probability value), ak  TwoSidedPValue<0.05 (resp. presnejsie α) zamietam H0

Pre atribúty SignificanceLevel je automaticky (default value) priradená žiadna hodnota (none), preTwoSided (dvojstranný test, jednoduchá alternatíva) logická hodnota nepravda (false) a pre FullReport hodnota nepravda (false).

MeanTest[data, μ0, SignificanceLevel -> 0.05, 
      KnownStandardDeviation -> 0.03, TwoSided -> True, 
      FullReport -> True]

Pdobne zratajme pre jednu stranu, Pozor testuje len  pre alternativu H2,  H2 μ>15.2

MeanTest[data, μ0, SignificanceLevel -> 0.05, 
      KnownStandardDeviation -> 0.03, 
      FullReport -> True]

Na zaver este vypocitame Phodnotu, pripomenieme si, ze TwoSidedPValue->0.00316276

T = ((priemer - μ0)/σ) (Sqrt[n])

Plot[PDF[NormalDistribution[0.1], t], {t, -4, 4}, 
      Ticks -> {{-T, -kvantil2, kvantil2, T}, None}]

Spocitame obsahy "koncov" nad intervalmi (-∞,T) a (T,∞)  a to je Phodonota

Phodnota = 2*CDF[NormalDistribution[0, 1], -Abs[T]]

V systeme Mathematica nam P value priamo zo zratanej statistiky  T umozni vypocitat prikaz

NormalPValue[T, TwoSided -> True]

Test pre μ pri neznámom σ

Príklad
Pri kontrole správnosti nastavenia meracieho prístroja bolo urobených 10 meraní skúšobného etalónu so správnou hodnotou μ= 15,2 . Boli namerané tieto údaje :
15,23   15,21   15,19   15,16   15,26   15,22    15,23   15,26   15,23    15,29
Na hladine významnosti α=0,05 testujte H0:  μ=15,2   oproti jednoduchej alternatíve  H1:   μ≠15,2 ak σ nepozname

s = StandardDeviation[data]

T = ((priemer - μ0)/s) (Sqrt[n])

Tkvantil = 
      Quantile[StudentTDistribution[n - 1], (1 - (α/2))]

Kedze T je vacsie ako Tkvantil, zamietam Ho, pristroj nemeria dobre.

MeanTest[data, 15.2, TwoSided -> True]

Phodnota = 2*CDF[StudentTDistribution[n - 1], -Abs[T]]

StudentTPValue[T, n - 1, TwoSided -> True]

MeanTest[data, 15.2, TwoSided -> True, 
      SignificanceLevel -> 0.05, FullReport -> True]

Este testujme pre alternativy H1 μ<15.2 
 a  H2  μ>15.2

Pdobne zratajme pre jednu stranu, Pozor testuje len  pre alternativu H2,  H2 μ>15.2

Tkvantil = 
      Quantile[StudentTDistribution[n - 1], 1 - α]

T>Tvantil teda prijimam H2
T>-Tkvantil teda nezamietam H0

MeanTest[data, 15.2]

StudentTPValue[T, n - 1]

MeanTest[data, 15.2, SignificanceLevel -> 0.05, 
      FullReport -> True]

Testy hypotez pre σ,  resp .  (σ^2)

Zo základného súboru  s rozdelením N(μ ;σ2) sa urobil náhodný výber s nasledujúcimi výsledkami
51,3  62,8   51,9   57   55,3   52,1   58,4
Testujte na hladine významnosti α=0,05 hypotézu H0: (σ^2)=16 oproti jednoduchej alternatíve H1: (σ^2)≠16

data1 = {51.3,  62.8,  51.9,  55.3,  52.1,  58.4}

s = StandardDeviation[data1]

Clear[σ]

σ2 = 16

T = (((n - 1) (s^2))/σ)2

k1 = Quantile[ChiSquareDistribution[n - 1], (α/2)]

k2 = Quantile[ChiSquareDistribution[n - 1], 1 - (α/2)]

Kedze T∈(k1, k2) nezamietam Ho

VarianceTest[data1, σ2, TwoSided -> True]

VarianceTest[data1, σ2, TwoSided -> True, 
      SignificanceLevel -> 0.05, FullReport -> True]

ChiSquarePValue[T, n - 1, TwoSided -> True]

Dvojvyberovy  parovy  test pre diferenciu strednych hodnot

Skumal sa ucinok dvoch druhov liekov urcenych k liecbe zeleneho zakalu u psov. Liek X sa aplikoval do laveho a liek Y do praveho oka. O hodinu neskor sa vykonali merania tlaku s vysledkami uvedenymi v tabulke(vyssie hodnoty su v neprospech lieku). na hladine vyznamnosti α=0.05 testujte hypotezu o rovnakej ucinnosti liekov.

liekX = {0.22,  0.16,  0.2,  0.19,  0.13,  0.1,  0.15}

liekY = {0.18,  0.14,  0.21,  0.12,  0.13,  0.06,  
        0.12}

rozdiel = liekX - liekY

μXY = Mean[rozdiel]

sXY = StandardDeviation[rozdiel]

α = 0.05

n = Length[rozdiel]

T = μ(XY/sXY) (Sqrt[n])

kvantilXY = Quantile[StudentTDistribution[n - 1], 0.975]

Kedze T>kvantilXY zamietam H0, lieky ucinkuju rozne.Este spocitajem Phodnotu:

StudentTPValue[n - 1, T, TwoSided -> True]