Najznámejšie diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti ich charakteristiky sú dostupné po nadcítaní balíka(prvy je pre graficke vystupy) :

<<  Graphics`Graphics`

<< Statistics`DiscreteDistributions`

Po nadcítani tohoto balíka možno zrátat charakteristiky daných rozdelení (strednú hodnotu, disperziu, kvantily, smerodajnú odchýlku, šikmost a pod.).  Zároven možno simulovat pseudonáhodné císla z prísluš. rozdelenia

PDF[rozdelenie, x] je hodnota hustoty náhodnej premennej z príslušného rozdelenia v bode x (P(X=x) a CDF[rozdelenie, x] je hodnota distribucnej  funkcie v bode x F(x)=(P(X<=x)

BINOMICKE ROZDELENIE

bi = BinomialDistribution[n, p]

Mean[bi]

Variance[bi]

Priklad 1.

Podla statistik 74% domacich firiem vlastni chladnicku, ktora sluzi pre zamestnancov. Nahodne vyberieme 30 firiem. Aka je pravdepodobnost, ze
a) prave 22 vlastni chladnicku
b) najviac 19 vlastni chladnicku
c) aspon 15 vlastni chladnicku

n = 30

p = 0.74

PDF[bi, 22]

CDF[bi, 19]

1 - CDF[bi, 14]

tabulka = Array[m, {31, 2}];

Do[m[i + 1, 1] = PDF[bi, i], {i, 0, 30}]

Do[m[i, 2] = i - 1, {i, 1, 31}]

tabulka // MatrixForm

(∑_(i = 0)^30) m[i + 1, 1]

BarChart[tabulka]

HYPERGEOMETRICKE ROZDELENIE

HypergeometricDistribution[n, núspech, ntot]
kde n je rozsah súboru, ktorý vyberáme z celkového rozsahu - ntot = N a núspech=M je pocet s vlastnostou A v celkovom súbore

Clear[n]

hy = HypergeometricDistribution[n, M, N]

Mean[hy]

Variance[hy]

Priklad 2.

Firma vyraba 500ks kosiel rocne. V dosledku starych opotrebovanych sijacich strojov je 70 z nich roznej akosti. Nahodne vyberieme na kontrolu 7 z nich. Aka je pravdepodobnost, ze
a) dve budu inej akosti
b) najviac jedna bude inej akosti

kosele = HypergeometricDistribution[7, 70, 500]

PDF[kosele, 2]

% // N

CDF[kosele, 1]

% // N

POISSONOVO ROZDELENIE

Opäť uvažujeme sériu nezávislých pokusov. Ak s rastúcim n klesá pravdepodobnosť nastatia javu A tak, že súčin n*p= je konštantný, potom z binomického rozdelenia dostávame Poissonovo rozdelenie.  Diskrétne náhodné premenné s Poissonovým rozdelením sa vyskytujú v procesoch, ktoré zahrňujú málo pravdepodobné, zriedka sa vyskytujúce javy v časových intervaloch danej dĺžky, v priestoroch stáleho objemu a pod. Poissonovým rozdelením sa napríklad riadi:

·	počet cudzích telies (bubliniek, kamienkov) v homogénnej látke (sklo, kov)
·	počet volaní (kupujúcich) v telefónnej centrále (v obchode) za daný časový interval
·	počet roztrhnutí vlákien za časový okamih
·	doby  bezporuchovej činnosti jednotlivých prístrojov
·	zriedka sa vyskytujúce javy v biológii (narodenie dvojčiat a pod.)

poi = PoissonDistribution[λ]

Mean[poi]

Variance[poi]

Priklad 3.

Pracovnícka obsluhuje 800 vretien,na ktoré sa navíja priadza.Pravdepodobnost  roztrhnutia priadze na každom z vretien za èas t je p=0,005. Urèite pravdepodobnost toho,že

a) sa za èas t priadza roztrhne na menej ako desiatich vretenách,
b) sa za èas t priadza roztrhne práve na jednom vretene

λ = 0.005*800

CDF[poi, 9]

PDF[poi, 1]

Vykreslime graf rozdelenia pravdep. pre prvych 20 hodnot

tabulka2 = Array[n, {21, 2}];

Do[n[i + 1, 1] = PDF[poi, i], {i, 0, 20}]

Do[n[i, 2] = i - 1, {i, 1, 21}]

tabulka2 // MatrixForm

(∑_(i = 0)^20) n[i + 1, 1]

BarChart[tabulka2]

Priklad rozdielu medzi binomickym a hypergeometrickym rozdelenim

Majme balicek sedmovych kariet, aka je pravdepodobnost, ze zo 4 vybranych kariet bude dve srdcove? Musime pouzit hypergeometricke rozdelenie, pretoze pravdepodobnost, ze vytiahneme sedmovu kartu nie je konstantna (8/32, 8/31, 7/30 atd.).
binomicke mozeme pouzit iba ak by p vytiahnutia sedmovej karty bola skoro konstantna...to docielime tak, ze namiesto jedneho balika vezmeme napr. 4 baliky kariet. najprv vypocitame, ci su alebo nie su konstantne pravdep.

8/32.

8/31.

8/30.

Nie su, teda pouzijeme hypergeom. rozdelenie. kvoli porovnaniu zratame priklad aj binom. rozdelenim, porovname vysledky, zostrojime graf rozdeleni pravdepodobnosti

kartyH = HypergeometricDistribution[4, 8, 32]

PDF[kartyH, 2] // N

kartyB = BinomialDistribution[4, 1/4]

PDF[kartyB, 2] // N

Clear[n, m]

tabulkaB = Array[n, {5, 1}];

Do[n[i + 1, 1] = PDF[kartyB, i], {i, 0, 4}]

tabulkaH = Array[m, {5, 1}];

Do[m[i + 1, 1] = PDF[kartyH, i], {i, 0, 4}]

BarChart[Flatten[tabulkaB], Flatten[tabulkaH], 
        BarChart -> {0, 1, 2, 3, 4]

teraz urobme tie iste vypocty za predpokladu, ze mame10 balickov kariet, t.j. kariet je 320 a pocet sedmovych medzi nimi je 80

80/320.

80/319.

80/318.

kartyH2 = HypergeometricDistribution[4, 80, 320]

PDF[kartyH2, 2] // N

kartyB = BinomialDistribution[4, 1/4]

PDF[kartyB, 2] // N

Clear[n, m]

tabulkaB = Array[n, {5, 1}];

Do[n[i + 1, 1] = PDF[kartyB, i], {i, 0, 4}]

tabulkaH2 = Array[m, {5, 1}];

Do[m[i + 1, 1] = PDF[kartyH2, i], {i, 0, 4}]

BarChart[Flatten[tabulkaB], Flatten[tabulkaH2]]

Spojite rozdelenia pravdepodobnosti

\(\(<< \ Statistics`ContinuousDistributions`\)\(
\)
      \)

NORMALNE ROZDELENIE

Pozor!!! zadavam sigmu!!!

nd = NormalDistribution[μ, σ]

Mean[nd]

Variance[nd]

Priklad 4.

Objem nealkoholického nápoja vo fĽaši, ktoré sú plnené automatickou plničkou sa riadi normálnym rozdelením so strednou hodnotou 0,25 l.  smerodajnou odchýlkou 0,05 l. 
a) KoĽko percent fliaš bude naplnených aspoň na hodnotu 0,23 l. ? 
b) KoĽko percent fliaš vyhovuje norme, ak norma žiada naplnenosť fliaš v medziach 0,245 l. až 0,26 l. 
c) KoĽko percent fliaš bude mať objem menej ako 0,22 l. ?

μ = 0.25

σ = 0.05

1 - CDF[nd, 0.23]

a) Takychto flias bude cca 65,5 %

CDF[nd, 0.26] - CDF[nd, 0.245]

b) norme bude vyhovovat iba 11.9% flias

CDF[nd, 0.22]

CDF[nd, 0.22] - CDF[nd, 0]

c) malo naplnenych flias bude 27.4%

Vykreslime grafy normalneho rozdelenia, hustotu a distr. funkciu

hustoty budeme kreslit s roznymi strednymi hodnotami a roznymi disperziami

densityN[x_, μ_, σ_]  :=  
      PDF[NormalDistribution[μ,  σ],  x]

Do[g[i] = 
        Plot[densityN[t, i, 1], {t, -3, 10}, PlotRange -> All, 
          PlotStyle -> {Hue[0.3*i], Thickness[0.01]}, 
          Axes -> {Automatic, None}], {i, 1, 5}]

Show[Table[g[i], {i, 1, 5}]]

distribN[x_, μ_, σ_] := 
      CDF[NormalDistribution[μ,  σ], x]

Do[gdist[i] = 
        Plot[distribN[t, i, 1], {t, -3, 10}, PlotRange -> All, 
          PlotStyle -> {Hue[0.3*i], Thickness[0.01]}, 
          Axes -> {Automatic, None}], {i, 1, 5}]

Show[Table[gdist[i], {i, 1, 5}]]

Do[g[i] = 
        Plot[densityN[t, 0, i], {t, -10, 10}, PlotRange -> All, 
          PlotStyle -> {Hue[0.3*i], Thickness[0.01]}, 
          Axes -> False], {i, 1, 5}]

Show[Table[g[i], {i, 1, 5}]]

EXPONENCIALNE ROZDELENIE

Exponenciálnym rozdelením sa riadia náhodné premenné, s ktorými sa stretávame v technicko-ekonomických aplikáciách. Je to napríklad čas potrebný na vyhĽadanie poruchy zariadenia, čakanie na obsluhu, životnosť zložitejších zariadení a podobne.

edist = ExponentialDistribution[λ]

Mean[edist]

Variance[edist]

densityE[x_, λ_]  :=  
      PDF[ExponentialDistribution[λ],  x]

Do[ehustota[i] = 
        Plot[densityE[t, i], {t, 0, 3}, PlotRange -> All, 
          PlotStyle -> {Hue[0.3*i], Thickness[0.01]}], {i, 1, 
        5}]

Show[Table[ehustota[i], {i, 1, 5}]]

Dlzka drahy, ktoru prejde auto doprvej poruchy ma exponencialne rozdelenie so strednou hodnotou 30000km. Vypocitajte pravdep. toho, ze
a) auto do prvej poruchy prejde aspon 50 000km
b) auto do prvej poruchy prejde menej ako 30 000km

λ = 1/30000.

1 - CDF[edist, 50000] // N

Pravdepodobnost, ze auto prejde do prvej poruchy aspon 50000km je 0.1888

CDF[edist, 30000]

Pravdepodobnost,ze auto prejde do prvej poruchy najviac 30000km je 0.6321