Intervaly spolahlivosti

V Mathematica 6 uz tieto kniznicne programy nenahravam

<< Statistics`ContinuousDistributions`

<<Statistics`ConfidenceIntervals`

Intervaly spolahlivosti budu pouzivat procedury kniznice HypothesisTesting`

<<"HypothesisTesting`"

Spocitame najprv podla  postupu z prednasok

Interval spolahlivosti pre μ a zname σ

Pr1.

Zo zakladneho suboru so znamym rozptylom (σ^2)=20.28  
sme urobili nahodny vyber s nasledujucim vysledkom...
Vypocitajte 95% interval spolahlivosti pre μ
Vypoctajte 90% IS lavostranny a pravostranny pre μ

data={51.3, 62.8, 51.9, 57, 55.3, 52.1, 58.4}

aritpriem=Mean[data]

sigma=(Sqrt[20.28])

n=Length[data]

kvantil=Quantile[NormalDistribution[0,1],0.975]

lstrana=aritpriem-((kvantil*sigma)/(Sqrt[n]))

pstrana=aritpriem+((kvantil*sigma)/(Sqrt[n]))

95% IS pre μ a zname σ je (52.2; 58.87)

kvantil09=Quantile[NormalDistribution[0,1],0.9]

lstrana09=aritpriem-((kvantil09*sigma)/(Sqrt[n]))

pstrana09=aritpriem+((kvantil09*sigma)/(Sqrt[n]))

90% lavostranny IS  pre μ a zname σ je (53.36;∞)
90% pravostranny ISpre μ a zname σ je (-∞;57.72)

Teraz to iste spocitame pomocou prikazov systemu Mathematica

Poznamka:  default value(prednastavena hodnota) pre IS obojstranne je 95% (α=0.05), 

Ak potrebujem vypocitat (1-α)% IS a je iny ako 95%, tak musim do prikazu zadat ConfidenceLevel-> 1-α

Ak poznam disperziu, musim do prikazu zadat KnownVariance, lebo default nastavenie je KnownVariance->None

MeanCI[data,KnownVariance->20.28]

navyse ak chcem robit jednostranne IS a procedura si alfu poli, musim zadat do Confidence Level hodnotu 1 - 2 α, pravostranny dostanem tak, ze LS nahradim - ∞, lavostranny zase tak, ze PS nahradim ∞

Ukazka "zleho" pouzitia ConfidenceLevel pre jednostranny interval (90%)

MeanCI[data,KnownVariance->20.28,ConfidenceLevel->0.9]

Ukazka spravneho pouzitia ConfidenceLevel pre jednostranny interval (90%)

MeanCI[data,KnownVariance->20.28,ConfidenceLevel->0.8]

Teda LS=(53.36;∞), PS=(-∞;57.72)

Priklad na opakovanie, intervaly spolahlivosti

Vyrobca mobilnych telefonov testoval dobu pohotovostneho rezimu (v hodinach)na  10 kusoch jedneho typu mb. 
Zostrojte 90%IS pre μ, ak σ=0.5 je zname
Zostrojte 99% lavostranny IS pre μ
Zostrojte 95% pravostranny IS preμ

mb={212,205,230,224,235,218,220,223,210,231}

MeanCI[mb,KnownVariance->0.5^2,ConfidenceLevel->0.9]

MeanCI[mb,KnownVariance->(0.5^2),ConfidenceLevel->0.98]

IS je (220.432, ∞)

MeanCI[mb,KnownVariance->(0.5^2),ConfidenceLevel->0.9]

IS je (-∞, 221.06)

Interval spolahlivosti pre μ a nezname σ

Pr2.

Zo zakladneho suboru s neznamym rozptylom   sme urobili nahodny vyber s nasledujucim vysledkom ...
Vypocitajte 95 % interval spolahlivosti pre μ
Vypoctajte 90 % IS lavostranny a pravostranny pre μ

Pouzijeme kvantily Studentovho t-rozdelenia s n-1 stupnami volnosti,inak sa postup nemeni

kvantilT0975=Quantile[StudentTDistribution[n-1],0.975]

lstrana=aritpriem-((kvantilT0975*StandardDeviation[data])/(Sqrt[n]))

pstrana=aritpriem+((kvantilT0975*StandardDeviation[data])/(Sqrt[n]))

95% IS pre μ a nezname σ je (51.65;59.43)

kvantilT09=Quantile[StudentTDistribution[n-1],0.9]

lstrana09=aritpriem-((kvantilT09*StandardDeviation[data])/(Sqrt[n]))

pstrana09=aritpriem+((kvantilT09*StandardDeviation[data])/(Sqrt[n]))

90% lavostranny IS  pre μ a nezname σ je (53.25;∞)
90% pravostranny ISpre μ a zname σ je (-∞;57.83)

Pomocou systemu Mathematica

MeanCI[data]

MeanCI[data,ConfidenceLevel->0.8]

Poznamka
default value (prednastavena hodnota) pre IS obojstranne je 95 % (α = 0.05), 

Ak potrebujem vypocitat (1 - α) % IS a je iny ako 95 %, tak musim do prikazu zadat ConfidenceLevel -> 1 - α

Na zaver vykreslime niekolko hustot Studentovho T rozdelenia s roznymi stupnami volnosti a porovname s normalnym normovanym rozdelenim

g[11]=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],t],{t,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.00001]},Axes->{True,False}]

densityT[x_,st_] := PDF[StudentTDistribution[st], x]

Do[g[i]=Plot[densityT[t,i+20],{t,-3,3},PlotRange->All,Axes->{True,False},PlotStyle->{Thickness[0.0005*i]}],{i,1,10}]

Show[Table[g[i],{i,1,8}],g[11]]

Interval spolahlivosti pre nezname σ,(σ^2)

Pr3.

Zo zakladneho suboru s neznamym rozptylom   sme urobili nahodny vyber s nasledujucim vysledkom ...
Vypocitajte 95 % interval spolahlivosti pre σ
Vypoctajte 90 % IS lavostranny a pravostranny pre σ

kvantilCHI0975=Quantile[ChiSquareDistribution[Length[data]-1],0.975]

kvantilCHI0025=Quantile[ChiSquareDistribution[Length[data]-1],0.025]

lstrana=(((Length[data]-1)*Variance[data])/kvantilCHI0975)

pstrana=(((Length[data]-1)*Variance[data])/kvantilCHI0025)

95% IS pre (σ^2)  (7.34; 85.77)

kvantilCHI09=Quantile[ChiSquareDistribution[Length[data]-1],0.9]

kvantilCHI01=Quantile[ChiSquareDistribution[Length[data]-1],0.1]

lstrana=(((Length[data]-1)*Variance[data])/kvantilCHI09)

pstrana=(((Length[data]-1)*Variance[data])/kvantilCHI01)

90% lavostranny IS  pre  (σ^2) je (9.97; ∞)
90% pravostranny IS pre (σ^2) je (0; 48.15)

Teraz pomocou systemu Mathematica

?VarianceCI

VarianceCI[data]

VarianceCI[data,ConfidenceLevel->0.8]

Poznamka

default value (prednastavena hodnota) pre IS obojstranne je 95 % (α = 0.05), 

Ak potrebujem vypocitat (1 - α) % IS a je iny ako 95 %, tak musim do prikazu zadat ConfidenceLevel -> 1 - α

Na zaver vykreslime zopar hustot CHi rozdelenia s roznymi stupnami volnosti

densityCH[x_,st_] := PDF[ChiSquareDistribution[st], x]

Do[g[i]=Plot[densityCH[t,i*10],{t,0,80},PlotRange->All,Axes->{True,False},PlotStyle->{Hue[0.1*i]}],{i,1,5}]

Show[Table[g[i],{i,1,5}]]

Ulohy

1. generujte postupne data z normalneho rozdelenia so strednou hodnotou 2 a disperziou 1. Utvorte 95% intervaly spolahlivosti
a) ak sigma je zname a rovne 1
b) ak sigma nie je zname, ale treba ho odhadnut

 Zvysujte pocet pocet merani n, od akeho cisla n mozno intervaly povazovat za totozne?